what is the best way to remove the background of a image?

Usar uma máscara de camada no Photoshop permitirá que você remova o fundo sem torná-lo permanente. Uma vez que você o carregue no Illustrator, ele deve atualizar se estiver vinculado à pasta inicial. Isso permite que você veja as atualizações enquanto edita a imagem.

Você poderia criar uma máscara no Illustrator, mas pessoalmente eu criaria um caminho de recorte usando o Photoshop, dessa forma você pode chamá-lo no Illustrator e eliminá-lo dessa maneira.

Talvez não seja o que você quer fazer, mas eu prefiro remover o fundo online para torná-lo rápido e tê-lo pronto para usar. Url: remove.bg

Photoshop é a ferramenta criada para manipular imagens. Illustrator é a ferramenta para criar gráficos vetoriais. É sempre mais difícil tentar usar uma ferramenta para fazer o que foi destinado a outra ferramenta. Você experimentará menos frustração se fizer esse tipo de trabalho no Photoshop.