what is the best way to remove the background of a image?

Usar una máscara de capa en Photoshop te permitirá eliminar el fondo sin hacerlo permanente. Una vez que lo cargues en Illustrator, debería actualizarse si está vinculado a la carpeta inicial. Esto te permite ver las actualizaciones mientras editas la imagen.

Podrías crear una máscara en Illustrator, pero personalmente crearía un trazado de recorte usando Photoshop, de esta manera puedes llamarlo en Illustrator y eliminarlo de esa manera.

Tal vez no sea lo que quieres hacer, pero prefiero eliminar el fondo en línea para hacerlo rápido y tenerlo listo para usar. Url: remove.bg

Photoshop es la herramienta creada para manipular imágenes. Illustrator es la herramienta para crear gráficos vectoriales. Siempre es más difícil intentar usar una herramienta para hacer lo que fue destinado para otra herramienta. Experimentarás menos frustración si hicieras este tipo de trabajo en Photoshop.